1. Verwendung und Geschichte
Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen seit der babylonischen Zeit eine wichtige Bedeutung. Beispiele der Verwendung der 12 sind die- 12 Monate im Jahr
- 12 Stunden mal 2 pro Tag
- 12 Tierkreiszeichen
- 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie
- 1 Dutzend = 12 Stück
- 1 Schock = 5 Dutzend
- 1 Gros = 12 Dutzend
- bei verschiedenen Maßeinheiten, z. B. 1 Fuß = 12 Zoll
- Einteilung des Tages in 2 mal 12 Stunden
- Einteilung des Kreises in 360 Grad ( = 30x12)
- 24 Karat (Carat) als Qualitätsmerkmal in der Gold- und Edelstein- und Diamantbranche; früher in 64 Teile unterteilt, heute in Zehntel und Hundertstel (1 ct = 1/5 g)
2. Das Stellenwertsystem
Wir wollen uns hier mit dem Duodezimalsystem ein wenig vertraut machen. Das System ist ein natürliches System, es entspricht der Natur und der Heiligen Geometrie und kann somit kosmische Gesetzmäßigkeiten besser beschreiben. Zur Erlauterung des Stellenwertsystems anhand des Dezimalsystems:- Die erste rechte Stelle repräsentiert die Einer, also 0 bis 9, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*100 (denn 100 = 1)
- die zweite Stelle die Zehner, also 10 bis 90, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*101
- die dritte Stelle die Hunderter, also 100 bis 900, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*102, wobei x eine beliebige Zahl an dieser Stelle ist, und so weiter
Das Stellenwertsystem sieht bei ihm wie folgt aus:
- Die erste rechte Stelle repräsentiert die Einer, also 0 bis 11, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*120 (denn 120 = 1)
- die zweite Stelle die Zwölfer, also 12 bis 143, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*121
- die dritte Stelle die Hundertvierundvierziger, also 144 bis 1727, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*122, wobei x eine beliebige Zahl an dieser Stelle ist, und so weiter
3. Darstellung der Ziffern für die Zahlen 11 und 12
Es gab und gibt verschiedene Vorschläge:- Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) schlug zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch X für 10 und E für 11 vor, später dann # für 10. Diese Lösung gerät in Konflikt mit der abgekürzten Exponential-Schreibweise und der Darstellung hexadezimaler Zahlen.
- Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) bevorzugt stattdessen die auf den Kopf gestellten Ziffern 2 und 3. Dafür gibt es bislang auf keiner Tastatur geeignete Typen.
- In neueren Abhandlungen werden die Ziffern # und E für Zehn und Elf verwendet. Wenn schon Schriftzeichen, dann Buchstaben. Ich schlage vor, analog wie im Hexadezimalsystem die Buchstaben A und B für 11 und 12 einzusetzen. Mögen schlauere selbsternannte Geister sich in heißen Diskussionen ergehen, wenn es soweit ist.
4. Schreibweise von Zahlen
Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt:Duodezimalsystem
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B |
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | ... | 2A | 2B |
Im Vergleich dazu im Dezimalsystem:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | ... |
Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 1639 nicht (wie im Dezimalsystem) die Eintausend-sechshundert-dreiundneunzig dar, sondern die Zweitausend-sechshundert-achtunddreissig.
1639 steht im Zwölfersystem für 2638:
| Ziffer | x | Wertigkeit | = | Wert |
| 1 | x | 123 | = | 1728 |
| 6 | x | 122 | = | 864 |
| 3 | x | 121 | = | 36 |
| 9 | x | 120 | = | 9 |
| Total | 2638 |
Duodezimale Brüche werden wie im Dezimalsystem behandelt. Erfreulicherweise gibt es eine Menge endlicher Brüche, mehr als in anderen Systemen und im Dezimalsystem:
- 1/2 = 0,6 (12)
- 1/3 = 0,4 (12)
- 1/4 = 0,3 (12)
- 1/6 = 0,2 (12)
- 1/8 = 0,16 (12)
- 1/9 = 0,14 (12)
5. Grundrechenarten
Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer. Im Duodezimalsystem muss also das "Kleine Einmaleins" bis 12 x 12 = 144 gelernt werden. Wir wollen uns hier der Kürze halber nur auf Addition und Subtraktion beschränken. Sie können im obigen Beispiel leicht abgeleitet werden.6. Umrechnen in andere Stellenwertsysteme
Vom Duodezimalsystem ins DezimalsystemUm aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, rechnet man die angegebenen Vielfache der 12er-Potenzen aus und zahlt sie zusammen. Man berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:
Vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl jeweils durch die Basis 12 geteilt wird, also Vielfache von 12 abgezogen werden.
Im Beispiel der 328 (10er System) sieht das schrittweise so aus:
| 328 : 12 = 27 | Rest 4 | (27 x 12 = 324) |
| 27 : 12 = 2 | Rest 3 | (2 x 12 = 24) |
| 2 : 12 = 0 | Rest 2 | (0 x 12 = 0) |
Der zu errechnende Wert ist nun in der mittleren Spalte von unten nach oben an den Resten ablesbar: 234(328 im 12er-System). - In der Praxis werden wir uns wahrscheinlich nicht den Kopf zu zerbrechen haben, wie man umrechnet. Entweder leben wir im Dezimalsystem oder wir leben im Duodezimalsystem. Die Mühe einer Umrechnung können wir getrost den Mathematikern und Informatikern überlassen.
Rolf's "Vermächtnis"
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