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Das 12er - System

Eine Informationssammlung zur duodezimalen Mathematik zusammengestellt von Rolf Roesler

Selbstdarstellung Rolf --- Info-Telefon: 08021 9662 --- Selbsthilfe-Suche --- Bezugsquellen


Das Duodezimalsystem

Quelle: PC-Welt, Glossar der freien Enzyklopädie, aus www.pcwelt.de/glossar/index.php/Duodezimalsystem

Warum steht hier etwas über das Duodezimalsystem? Haben doch die Engländer als letzte Europäer gerade ihr 12-er Währungssystem aufgegeben; ist doch ein alter Hut - werden Sie meinen? In vielen Botschaften, die uns heute erreichen, werden uns Zeichen gegeben, daß wir vor einer Umbruchzeit stehen und viele unserer Systeme (Gesellschaft, Wirtschaft, Finanzen, Bildung, Information etc.) sich ändern und neue Systeme sich bilden werden. Auf dieser Web-Seite wird deutlich gemacht, daß die planetare Schwingungsenergie sich rapide erhöht und unsere Bewußtseinsstrukturen vor einem nie dagewesenen Wandel stehen. Diese Botschaften berichten davon, daß „nichts mehr so sein wird wie vorher". Wir werden zum Duodezimalsystem zurückkehren, weil es ein natürliches System ist. Es spiegelt sich in der „Heiligen Geometrie", in der Darstellung und im Aufbau allen biologischen Lebens, in allen Zellen und nicht zuletzt in der Geometrie der platonischen Körper wieder. Aus Neugier habe ich mich einmal damit befasst, um dem Wandel nicht ganz unvorbereitet entgegen sehen zu können. Nachfolgend mein kleines unmaßgebliches Exposée.


Inhalt 1 Verwendung und Geschichte
2 Das Stellenwertsystem
3 Darstellung der Ziffern für die Zahlen 11 und 12
4 Schreibweise von Zahlen
5 Grundrechenarten
6 Umrechnen in andere Stellenwertsysteme


1 Verwendung und Geschichte

Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen seit der babylonischen Zeit eine wichtige Bedeutung. Beispiele der Verwendung der 12 sind die
  • 12 Monate im Jahr,
  • 12 Stunden mal 2 pro Tag,
  • 12 Tierkreiszeichen,
  • 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie,

    In vielen europäischen Sprachen gibt es eigene Zahlennamen für 11 ("elf") und 12 ("zwölf") anstelle der regelmäßigen Zehnersystem-Namen (wie "zweizehn"). Dies weist, wie auch die Verwendung des Dutzend, auf eine breite Verwendung der Basis 12 hin. Zusätzlich hat die 12 die Eigenschaft, durch relativ viele Zahlen teilbar zu sein (2, 3, 4, 6), was die Verwendung als Größeneinteilung (z. B. bei Zoll und Fuß) zur Folge hatte. Das Duodezimalsystem wird heute noch in einigen Zusammenhängen verwendet:
  • 1 Dutzend = 12 Stück.
  • 1 Schock = 5 Dutzend.
  • 1 Gros = 12 Dutzend.
  • bei verschiedenen Maßeinheiten, z. B. 1 Fuß = 12 Zoll.
  • Einteilung des Tages in 2 mal 12 Stunden.
  • Einteilung des Kreises in 360 Grad ( = 30*12).
  • 24 Karat (Carat) als Qualitätsmerkmal in der Gold- und Edelstein- und Diamantbranche; früher in 64 Teile unterteilt, heute in Zehntel und Hundertstel (1 ct = 1/5 g).


    2 Das Stellenwertsystem

    Wir wollen uns hier mit dem Duodezimalsystem ein wenig vertraut machen. Das System ist ein natürliches System, es entspricht der Natur und der Heiligen Geometrie und kann somit kosmische Gesetzmäßigkeiten besser beschreiben. Zur Erläuterung des Stellenwertsystems anhand des Dezimalsystems:
  • Die erste rechte Stelle repräsentiert die Einer, also 0 bis 9, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*100 (denn 100 = 1),
  • die zweite Stelle die Zehner, also 10 bis 90, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*101,
  • die dritte Stelle die Hunderter, also 100 bis 900, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*102, wobei x eine beliebige Zahl an dieser Stelle ist, und so weiter.

    Für die exponentielle Darstellung dient die 10 also als „Basis". Das Duodezimalsystem (auch Zwölfersystem) ist genau so wie unser Dezimalsystem ganz einfach ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf. Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis 10) gibt es 12 Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab 12 eine zweite Ziffer benötigt wird.

    Das Stellenwertsystem sieht bei ihm wie folgt aus:
  • Die erste rechte Stelle repräsentiert die Einer, also 0 bis 11, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*120 (denn 120 = 1),
  • die zweite Stelle die Zwölfer, also 12 bis 143, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*121,
  • die dritte Stelle die Hundertvierundvierziger, also 144 bis 1727, auch als Exponentialzahl darstellbar als x*122, wobei x eine beliebige Zahl an dieser Stelle ist, und so weiter.

    Für die exponentielle Darstellung dient die 12 also als „Basis". Wir sehen hier eine sehr komplizierte Darstellung, weil uns heute noch die „einstelligen Ziffern" für die Dezimal-11 und -12 fehlen.


    3 Darstellung der Ziffern für die Zahlen 11 und 12

    Es gab und gibt verschiedene Vorschläge:
  • Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) schlug zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch X für 10 und E für 11 vor, später dann # für 10. Diese Lösung gerät in Konflikt mit der abgekürzten Exponential-Schreibweise und der Darstellung hexadezimaler Zahlen.
  • Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) bevorzugt stattdessen die auf den Kopf gestellten Ziffern 2 und 3. Dafür gibt es bislang auf keiner Tastatur geeignete Typen.
  • In neueren Abhandlungen werden die Ziffern # und E für Zehn und Elf verwendet. Wenn schon Schriftzeichen, dann Buchstaben. Ich schlage vor, analog wie im Hexadezimalsystem die Buchstaben A und B für 11 und 12 einzusetzen. Mögen schlauere selbsternannte Geister sich in heißen Diskussionen ergehen, wenn es soweit ist.


    4 Schreibweise von Zahlen

    Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt:

    Duodezimalsystem
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
    10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
    20 21 22 23 24 ... 2A 2B

    Im Vergleich dazu im Dezimalsystem:
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
    20 21 22 23 24 ...


    Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird. Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 1639 nicht (wie im Dezimalsystem) die Eintausend-sechshundert-dreiundneunzig dar, sondern die Zweitausend-sechshundert-achtunddreissig.

    1639 im Zwölfersystem:
    Ziffer x Wertigkeit = Wert
    1 x 123 = 1728
    6 x 122 =
    864
    3 x 121 =
    36
    9 x 120 =
    9
    Total 2638

    Duodezimale Brüche werden wie im Dezimalsystem behandelt. Erfreulicherweise gibt es eine Menge endliche Brüche, mehr als in anderen Systemen und im Dezimalsystem:
  • 1/2 = 0,6 (12)
  • 1/3 = 0,4 (12)
  • 1/4 = 0,3 (12)
  • 1/6 = 0,2 (12)
  • 1/8 = 0,16 (12)
  • 1/9 = 0,14 (12)

    Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen.


    5 Grundrechenarten

    Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer. Im Duodezimalsystem muß also das „Kleine Einmaleins" bis 12 x 12 = 144 gelernt werden. Wir wollen uns hier der Kürze halber nur auf Addition und Subtraktion beschränken. Sie können im obigen Beispiel leicht abgeleitet werden.


    6 Umrechnen in andere Stellenwertsysteme

    Vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem
    Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, rechnet man die angegebenen Vielfache der 12er-Potenzen aus und zählt sie zusammen. Man berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:

    234(12) = 2 · 122 + 3 · 121 + 4 · 120 = 288 + 36 + 4 = 328.


    Vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl jeweils durch die Basis 12 geteilt wird, also Vielfache von 12 abgezogen werden.

    Im Beispiel der 328 (10er System) sieht das schrittweise so aus:
    328 : 12 = 27 Rest 4 (27 x 12 = 324
    27 : 12 = 2
    		 Rest 3
    (2 x 12 = 24)
    2 : 12 = 0
    		Rest 2
    (0 x 12 = 0)

    Der zu errechnende Wert ist nun in der mittleren Spalte von unten nach oben an den Resten ablesbar: 234(328 im 12er-System). - In der Praxis werden wir uns wahrscheinlich nicht den Kopf zu zerbrechen haben, wie man umrechnet. Entweder leben wir im Dezimalsystem oder wir leben im Duodezimalsystem. Die Mühe einer Umrechnung können wir getrost den Mathematikern und Informatikern überlassen.


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